Một tập con A {\displaystyle A} của không gian tô pô X {\displaystyle X} với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.

Giả sử { U i : i ∈ I } {\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}} là một phủ mở của A {\displaystyle A} . Khi đó

A = ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle A=\bigcup _{i\in I}U_{i}}

nên

X ∖ A = ⋂ i ∈ I X ∖ U i {\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}}

Vì mỗi X ∖ U i {\displaystyle X\setminus U_{i}} là hữu hạn nên ⋂ i ∈ I X ∖ U i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}} cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập X ∖ U i {\displaystyle X\setminus U_{i}} ( i ∈ J {\displaystyle i\in J} với J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} và | J | < ∞ {\displaystyle |J|<\infty } ) sao cho

X ∖ A = ⋂ i ∈ J X ∖ U i {\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in J}X\setminus U_{i}}

Do đó

A = ⋃ i ∈ J U i {\displaystyle A=\bigcup _{i\in J}U_{i}}

Vậy A {\displaystyle A} compact.